Berekenbaarheid - Utrecht University

Logica voor informatica Deel II Berekenbaarheids-theorie Het vraagstuk van berekenbaarheid Zijn er inherente beperkingen aan wat computers kunnen (ongeacht programmeertaal, aantal processoren, rekentijd, en geheugen)? Zijn er problemen die, hoewel voldoende precies geformuleerd, computers principieel niet kunnen oplossen? Zo ja, welke problemen zijn dat? Logica voor Informatica G.A.W. Vreeswijk 3

Berekenbaarheids-theorie Probleem-typen Vaag geformuleerde of metafysische problemen Hoe zou lekker bier moeten smaken? Wat is een goeie game? Wat speelt zich af in een zwart gat? Wat is de zin van het leven? Wat is gelijkheid?

Logica voor Informatica Deze vraagstuk-typen zijn vaag geformuleerd, of kunnen alleen subjectief worden beantwoord of behoren tot het domein van de metafysica. () wovon man nicht reden kann, darber mu man schweigen. G.A.W. Vreeswijk 5 Ingewikkelde maar toch beslisbare problemen 15 9 5 8 13 3 14 1 7 12 6 10 2 11 4 Kan ik meer dan 18 aan boodschappen meenemen?

Logica voor Informatica Is er een kliek groter dan drie? Kan deze puzzel worden opgelost in minder dan 43 zetten? Is er een dominerende verzameling met minder dan 3 (Graaf 1) resp. 4 (Graaf 2) knopen? G.A.W. Vreeswijk 6 Bestaan er onbeslisbare vraagstukken? Bestaan er vraagstukken die, hoewel voldoende precies geformuleerd, computers, ongeacht programmeertaal, beschikbaar aantal processoren, rekentijd, en geheugen, principieel niet kunnen oplossen? Antwoord: JA, zulke vraagstukken bestaan. Logica voor Informatica

G.A.W. Vreeswijk 7 Vraag-typen Vaag of subjectief Beslisbaar ( Voldoende precies geformuleerd Met de computer te beantwoorden Eenvoudig Logica voor Informatica Niet met de computer te beantwoorden Rekenintensief )

G.A.W. Vreeswijk Onbeslisbaar 8 Onbeslisbare problemen Voorbeelden Alan Turing 23 juni 1912: geboren in Londen 1931-1934 kwantummechanica, al snel wiskunde aan de Universiteit van Cambridge 1935: maakt kennis met het Entscheidungsproblem 1936: On Computable Numbers, with an Application to the Entscheidungsproblem

de Logical Computing Machine (later: Turing-machine) Logica voor Informatica G.A.W. Vreeswijk WW2: Government Code and Cypher School (ontcijfering Enigma) 1950: Turing test in AI 1954: overleden (cyanidevergiftiging) 10 Het stop-probleem is onbeslisbaar Stelling. Zij J een programmeertaal. Als J voldoende rijk is (en Java is dat bijvoorbeeld zeker), dan kan er geen programma h J bestaan dat voor elke programma/input-combinatie (j, i) J I kan uitmaken of j met input i stopt.

Merk op: h/2 en j/1. Stel h bestaat, z dat h(j, i) = 1 j(i) stopt. Logica voor Informatica G.A.W. Vreeswijk 11 Er bestaan aftelbaar veel computerprogrammas `Bewering. Laat A een eindig alfabet zijn. De verzameling van alle eindige strings over A is aftelbaar. Bewijs: a, b,..., z, aa, ab, ac, , az, ba, bb, Gevolg: de volgende verz. zijn aftelbaar: De verz. van alle programmas in de taal J. Logica voor Informatica De verz. van alle computerprogrammas in bestaande programmeertalen De verz. van alle mogelijke computerprogrammas in alle mogelijke (dus ook toekomstige)

programmeertalen. G.A.W. Vreeswijk 12 Tabel voor h h i1 i2 i3 i4 i5 i6 i7 i8 i9

q 0 0 0 0 1 0 0 1 0 j1 1 1 1

1 0 1 1 j2 1 1 1 0 0 1 0 j3 1

0 1 1 1 1 1 j4 1 1 1 1 1 1 1 j5

1 1 1 0 0 1 1 j6 1 1 0 1 1 1

1 1 1 j7 0 0 1 1 1 1 1 1 1

j8 0 1 1 1 1 1 1 0 1 j9 1 1

1 1 1 1 1 1 1 Logica voor Informatica G.A.W. Vreeswijk 0 1 Nu moeten we er ons 1 alleen 0 nogvan

dat q 1 overtuigen 1 gewoon n van de ji is. 1 1 Zoja, dan zijn we klaar. 0 1 na!) (Ga 13 Het stop-probleem is onbeslisbaar Halting programma, h, is z, dat h(j, i) = 1 j(i) stopt. Omgekeerd: h(j, i) = 0 j(i) stopt niet. diagonalisatie Bekijk programma q/1: q(i): als h(i, i) = 0 stop, anders draai oneindige loop.

Stopt q(q) ? Volgens qs definitie: q(q) stopt h(q, q) = 0. Volgens hs definitie: q(q) stopt h(q, q) = 1. Tegenspraak. Logica voor Informatica G.A.W. Vreeswijk 14 Het stop-probleem voor eindige collecties Is het stop-probleem onbeslisbaar voor eindige collecties van programmas? Piet: Nog steeds niet. Het diagonalisatieargument is nog steeds van kracht (op de nu eindige h-matrix). Truus: Ja. Er bestaat een controle-programma h dat een 1 afdrukt d.e.s.d.a. j stopt met input i. Zonder overigens te weten hoe h er uit ziet. Logica voor Informatica G.A.W. Vreeswijk 15 Carcassonne Logica voor Informatica

Youtube gameplay instruction G.A.W. Vreeswijk 16 Logica voor Informatica G.A.W. Vreeswijk 17 Voorbeeld van een Carcassonne tegelset Stel: van elke tegel zijn oneindig veel exemplaren voorradig Logica voor Informatica Is het mogelijk het platte vlak met deze tegelset af te dekken, zonder tegels te roteren?

G.A.W. Vreeswijk 18 Z2 afdekken met rotatie is flauw Logica voor Informatica G.A.W. Vreeswijk 19 Afdekken zonder rotatie Voorbeelden waarin rotatie niet is toegestaan: Noord-Zuid orintatie. Schaduwen. Logica voor Informatica G.A.W. Vreeswijk 20 Wang (1961)

Vermoeden: er bestaat een algoritme (reken-recept) dat voor alle tegelsets kan beslissen of deze het platte vlak kunnen vullen Idee: probeer steeds grotere gebieden te bedekken, totdat: een gebied niet bedekt kan worden (mislukking) een periodiek patroon ontstaat (succes) Logica voor Informatica G.A.W. Vreeswijk 21 Het tegel-probleem van Wang 1961: Hoa Wang: "Proving theorems by pattern

recognitionII", Bell System Tech. Journal 40(1):141. Algoritme nam periodiciteit aan. 1966: Robert Berger: "The undecidability of the domino problem", Memoirs Amer. Math. Soc. 66(1966). A-periodieke set bevatte 20,426 tegels. 1996: Karel Culik: "An aperiodic set of 13 Wang tiles", Discrete Mathematics 160, 245251. Logica voor Informatica G.A.W. Vreeswijk 22 A-periodieke betegeling Culik (1996) (Als je Carcassonne wilt: rood is stad, groen is land, blauw is water, grijs is steen, geel is weg.) Logica voor Informatica G.A.W. Vreeswijk 23 A-periodic texture mapping Voorbeelden waarin rotatie niet is toegestaan:

Noord-Zuid orintatie Schaduwen op terreintegels. Logica voor Informatica Jos Stam (1997), Aperiodic Texture Mapping Michael F. Cohen, Jonathan Shade, Stefan Hiller, Oliver Deussen (2003), Wang Tiles for Image and Te xture Generation Li-Yi Wei (2004), Tile-Based Texture Mapping on Graphics Hardware G.A.W. Vreeswijk 24 Li-Yi Wei (2004), afbeeldingen

Chelsea Robertson (2005) Logica voor Informatica G.A.W. Vreeswijk 25 Er bestaat geen algoritme! Er bestaat geen algoritme, er kan ook geen algoritme bestaan, en er zal ook nooit een algoritme komen, dat voor alle niet-roteerbare Carcassonne-tegelsets kan bepalen of deze het platte vlak kunnen betegelen. Het bewijs komt er op neer elk specifiek zg. haltingprobleem te vertalen naar een specifiek betegelingsprobleem. ... en het universele halting-probleem is onbeslisbaar. Logica voor Informatica G.A.W. Vreeswijk 26 Emil L. Post

1897: geboren in Augustow, emigratie naar VS 1909: verlies van linkerarm 1920: doctoraalscriptie over Principia Mathematica 1921: ontdekking onvolledigheidsstelling Gdel, eerste aanval van bipolar, demotie carrire 1936: Post-machine Logica voor Informatica G.A.W. Vreeswijk 1944: opsombaarheid, Turing-degree 1954: overleden

(hartaanval) 27 Posts correspondence problem PCP puzzel 1 2 0 1 0 0 3 0 1 1 1 0

0 1 1 Opgave: verzin een getal, bestaande uit cijfers 1, 2, en 3, z dat dit getal een blok representeert met een gave rechterkant 0 Een poging:3211? Een oplossing: 3231 1 1 0 0 1

0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0

1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 0 Logica voor Informatica 1

0 0 G.A.W. Vreeswijk 28 Andere PCP puzzel 1 1 2 0 0 3 1 Lengte van een kortste oplossing (er zijn er twee): 75 ! 1 0

1 0 0 0 Een poging: 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0

0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0

0 0 0 1 Logica voor Informatica G.A.W. Vreeswijk 1 1 0 0 ..? 29 Tijdbalk voor onbeslisbaarheid

1889: Peano: formeel systeem voor rekenkunde 1900: Hilbert: 23 problemen voor de 20e eeuw 1910-1913: Whityehead & Russell: principia methematica 1920: Hilbert's programma 1928: het Entscheidungsproblem 1936: lambda-calculus eerste onbeslisbare probleem 1936: Turing machine 1936: Post machine Logica voor Informatica G.A.W. Vreeswijk 30 Berekenbaarheids-theorie Definities en resultaten Berekenbaarheids-theorie Berekenbare functies

Beslisbare verzamelingen Opsombare verzamelingen = Semi-beslisbare verzamelingen Logica voor Informatica G.A.W. Vreeswijk 32 Berekenbaar, opsombaar, beslisbaar Een functie f : N N heet berekenbaar als er een programma te schrijven valt die deze functie kan uitrekenen. Een verzameling A N heet opsombaar als er

een programma te schrijven valt die precies deze verzameling kan afdrukken. Een verzameling A N heet beslisbaar als er een programma te schrijven valt die kan uitmaken of een getal in A zit. Logica voor Informatica G.A.W. Vreeswijk 33 Berekenbaarheids-theorie Berekenbare functies Berekenbaarheid Maakt het nog uit in welke programmeertaal? Een partile functie f : N N heet berekenbaar als er een computer-programma /1 te schrijven is die f kan uitrekenen. Eenvoudig voorbeeld: f : N N beeldt x af op x mits x geheel is; anders ongedefinieerd. Is deze functie berekenbaar? Verzin andere functies N N. Berekenbaar? Logica voor Informatica

G.A.W. Vreeswijk 35 Berekenbaarheid preciezer definiren Zij f : N N een partile functie en J een programmeertaal. We zeggen dat programma J de functie f berekent als voor elke nN en elke uitvoering van (n) het volgende geldt: Als fn, wordt f(n) afgedrukt. Als fn, wordt niets afgedrukt. Logica voor Informatica Berekenbaarheid. Een partile functie f : N N heet berekenbaar, ook wel: effectief berekenbaar, als er een programma / 1 J bestaat welke f berekent. G.A.W. Vreeswijk

36 Aanvullingen op berekenbaarheids-definitie Als een uitkomst afdrukt, dan is eigenlijk klaar, en mag het stoppen. Als niet op deze manier werkt, kunnen we veranderen in een programma dat altijd stopt na het afdrukken van een resultaat. Logica voor Informatica Als fn kan het op zich nog best lang duren voordat de uitkomst f(n) afdrukt. Als niets afdrukt, kan dat twee redenen hebben.

Het kan kan zijn dat heeft ontdekt dat fn en daarom stopt (of doorgaat zonder ooit nog wat af te drukken). Het kan zijn dat fn en nog bezig is f(n) uit te rekenen. G.A.W. Vreeswijk 37 Er bestaan hoogstens aftelbaar oneindig veel berekenbare functies Eigenlijk wordt elke berekenbare functie berekend door aftelbaar oneindig veel programmas. Dit heet het Padding Lemma. Bewijs: Kies een voldoende krachtige programmeertaal,

bijvoorbeeld J. Alle berekenbare functies B NN worden berekend door tenminste n element uit J. We hebben zojuist een injectie B J geconstrueerd. Eerdere stelling uit dictaat: als f: X Y een injectie is, dan is |X| |Y|. Dus |B| |J|. Logica voor Informatica G.A.W. Vreeswijk 38 Het padding lemma . . . y :=4; while ( y < x ) { . . . } x := y z; . . . Logica voor Informatica . . . y :=4; while ( y < x ) {

. . . } z := z; /* bla */ x := y z; . . . G.A.W. Vreeswijk 39 Er bestaan onberekenbare functies Volgt uit: Stelling. De verzameling NN bevat tenminste n onberekenbare functie. Bewijs: Er zijn overaftelbaar veel functies van N naar N (i.e., NN is overaftelbaar). Maar er zijn hoogstens aftelbaar veel berekenbare functies van N naar N. (Zojuist gezien!) Logica voor Informatica

G.A.W. Vreeswijk 40 Het leeuwendeel van N N is onberekenbaar Volgt uit: Stelling. De verzameling NN bevat overaftelbaar veel onberekenbare functies. Bewijs: NN bevat aftelbaar veel berekenbare functies B. Het complement NN B (de verz. van onberekenbare functies) kan niet aftelbaar zijn. Dus is het complement overaftelbaar. Logica voor Informatica G.A.W. Vreeswijk 41

Vragen Welke van de volgende functies N N is berekenbaar? De identiteitsfunctie. De compositie (samenstelling) van twee berekenbare functies. De inverse van een berekenbare functie. De inverse van een berekenbare functie, vooropgesteld dat de inverse bestaat. Dit is een moeilijke we hebben hier een techniek voor nodig, genaamd zwaluwstaarten. Logica voor Informatica G.A.W. Vreeswijk 42 Zwaluwstaarten (dovetailing) Laat programma /1 een functie f : N N uitrekenen. kan quasi-parallel worden uitgevoerd op N: 1. 2. 3.

4. 5. En stap (0). En stap (0), n stap (1). En stap (0), n stap (1), n stap (2). En stap (0), n stap (1) , n stap (2), n stap (3). Logica voor Informatica G.A.W. Vreeswijk 43 De inverse van een injectieve berekenbare functie (1) bestaat, en (2) is berekenbaar Bewijs: Laat /1 de injectie f : X Y uitrekenen. 1. De inverse, g (als part. fun.), bestaat. 2. Algoritme om g(n) te berekenen:

Voer quasi-parallel op N uit. Als g(n) gedefinieerd is, zal f(g(n)) = n en zal voor zekere m ooit n afdrukken. link naar p In dat geval geldt m = g(n)stop. in code an alyse Logica voor Informatica G.A.W. Vreeswijk 44 Berekenbaarheid op strings Waarom alleen maar kijken naar functies f : N N ? Functies f : Strings Strings zijn toch ook interessant in de informatica? N Strings N codeer

de-codeer Strings kan berekenbaar, bijv. d.m.v. Gdel-nummering Logica voor Informatica G.A.W. Vreeswijk 45 Gdel nummering ASCII: 0-127 codeert letters, cijfers, en leestekens Het woord abces: 97, 98, 99, 101, 115 Naar uniek natuurlijk getal: 297398599710111115 Deze injectie Strings N is berekenbaar Omgekeerd is injectieve (partile!) functie N Strings ook berekenbaar Partieel, want welke string zou vertegenwoordigd worden door 29973898 ?

Logica voor Informatica G.A.W. Vreeswijk 46 Berekenbaarheid op andere verzamelingen Op Stringsn Strings . Op Strings* Strings . (Waarbij Strings* = Strings0 Strings1 Strings2 .. . Voorbeeld: aap#noot#mies (aap, noot, mies) . Op Strings* Strings* . Op Plaatjes* Plaatjes* , Audio, Video, Alle berekeningen moeten wel batch zijn. Geen interactiviteit. Geen asynchroniciteit.

Geen orakelvan buiten (software-updates). Logica voor Informatica G.A.W. Vreeswijk 47 Berekenbaarheids-theorie Beslisbaarheid Beslisbaarheid preciezer definiren We zeggen dat programma /1 J beslist over verzameling X N als voor elk getal nN kan uitmaken of nX. We zeggen dat X N beslisbaar is, als er een programma bestaat dat over X kan beslissen. kan uitmaken of druk 1 af als nX, druk anders 0 af.

Elke eindige verzameling is beslisbaar. Als X en Y beslisbaar zijn, dan zijn hun vereniging, doorsnede, verschil en complement dat ook. (Ga na!) Logica voor Informatica G.A.W. Vreeswijk 49 Een model-bewijs Te bewijzen: als X en Y beslisbaar zijn, dan is X Y het ook. Bewijs: Laat j en j programmas zijn die over X resp. Y kunnen 1 2 beslissen. Het is nu in principe mogelijk een programma j te schrijven die over X Y beslist, als volgt: Zij nN willekeurig. Laat j de waarden j1(n) en j2(n) uitrekenen door j1 en j2 aan te roepen. Laat j de waarde 1 teruggeven als en slechts als j1(n)=1 of j2(n)=1 (en 0 anders). Logica voor Informatica

G.A.W. Vreeswijk 50 Beslisbaarheid van de propositielogica Is de (verz. van tautologien in de) propositielogica beslisbaar? I.e., bestaat er een algoritme waarmee bepaald kan worden of een formule een tautologie is? Ja! : Waarheidstabellen Semantische tableaus Vragen: Kan men m.b.v. het Hilbert-bewijssysteem beslissen of een een formule een tautologie is?

M.b.v. het Fitch-bewijssysteem (natuurlijke deductie)? Logica voor Informatica G.A.W. Vreeswijk 51 (Geldigheid in) predikatenlogica is semi-beslisbaar Semi-beslisbaarheid We zeggen dat programma /1 semi-beslist over X N, als voor nX kan uitmaken of nX. We zeggen dat X N semibeslisbaar is, als er een programma bestaat dat semi-beslist over X. kan uitmaken of druk 1 af als nX, druk anders 0 af Als nX dan zal een 0 afdrukken, of oneindig doorlopen.

Zwakte: het heeft geen zin om op te wachten. Logica voor Informatica G.A.W. Vreeswijk 52 Berekenbaarheids-theorie Opsombaarheid Opsombaarheid preciezer definiren We zeggen dat programma /0 J de verzameling X N opsomt als precies alle getallen uit X kan afdrukken. We zeggen dat X N opsombaar is, als er een programma bestaat dat X kan opsommen. heeft geen input nodig.

is niet gebonden aan een volgorde. mag elementen herhaald afdrukken. Er kunnen onvoorspelbare en willekeurige lange pauzes voorkomen tussen het afdrukken van getallen. Logica voor Informatica G.A.W. Vreeswijk 54 Raadsel: is NxN opsombaar? 31 30 29 28 27 26 13 12 11 10 25 Is suggestieve aftelling. Kun je ook een algoritme bedenken dat elementen in het platte vlak aftelt?

I.e., kun je een opsomming bedenken? 14 3 2 9 24 15 4 1 8 23 16 5

6 7 22 17 18 19 20 21 Logica voor Informatica G.A.W. Vreeswijk 55 Een mogelijke opsomming van NxN n:=1 while 1 { ontbind n in priemfactoren als n geen andere priemdelers heeft dan 2 en 3, print dan de exponenten als geordend paar, bv. 27384 (7, 84) (Print niks in het andere geval.)

} Logica voor Informatica G.A.W. Vreeswijk 56 Men kan bewijzen: P( X N is opsombaar ) = 0 Opsombaar aftelbaar Stelling. Er bestaan aftelbare verzamelingen die niet opsombaar zijn. Bewijs: Gevolg: Er bestaan tenminste NN Overaftelbaar veel verschillende aftelbare aftelbare verzamelingen. verzamelingen Er bestaan maar aftelbaar veel bezitten geen opsomming! opsombare verzamelingen. Logica voor Informatica

G.A.W. Vreeswijk 57 Semi-beslisbaar = opsombaar Stel X is opsombaar. Laat /0 de verz. X opsommen. Semi-beslisprocedure: Draai . Als nX dan zal n uiteindelijk verschijnen; druk in dat geval 1 af. Stel X is semi-beslisbaar. Laat /1 semi-beslissen over X. Opsom-algoritme: zwaluwstaart-methode Voer /0 semi-parallel uit op N. Voor elke nX zal vroeg of laat een 1 afdrukken. Druk deze n af. Als (eventueel!) een 0 wordt afgedrukt, druk dan niets af.

Logica voor Informatica G.A.W. Vreeswijk 58 Vragen over opsombaarheid Is elke eindige verzameling X N opsombaar? Stel, X en Y zijn opsombaar. Ja. Is X Y opsombaar? Is X Y opsombaar? Is X Y opsombaar? Is X Y opsombaar? Is XC = N X opsombaar?

Logica voor Informatica G.A.W. Vreeswijk Ja. Ja. Ja. Weet niet. Weet niet. 59 Complementair opsombaar N Logica voor Informatica G.A.W. Vreeswijk 60 Complementair opsombaar Een verzameling X N heet complementair

opsombaar als het complement opsombaar is. Co-opsombaar, co-enumereerbaar, co-recursief enumereerbaar, corecursively enumerable, co-r.e. Stelling van Post: X N is beslisbaar X is opsombaar en complementair opsombaar. Antwoord op eerdere vraag: niet alle complementen van opsombare verz. zijn dus opsombaar. (Immers: niet alle verz. zijn beslisbaar.) Logica voor Informatica G.A.W. Vreeswijk 61

Recently Viewed Presentations

  • Program Information Qualifications:  Civilians must be employed in

    Program Information Qualifications: Civilians must be employed in

    Civilians must be employed in the grade of GS-14/15 or NSPS Pay Band 3/4, or DR-III/IV AND, Must hold a regionally-accredited baccalaureate degree. If you meet these requirement, E-Mail the following documents to Student Support: Most recent SF-50.
  • Concentration, units & dimensions Learning Objectives:  Define Environmental

    Concentration, units & dimensions Learning Objectives: Define Environmental

    Texas A&M University Other titles Arial Verdana Times New Roman Wingdings Watermark Concentration, units & dimensions Examples of Environmental Fluid Mechanics Projects Environmental Fluid Mechanics Transport in the Hydrosphere Concentrations Hydromechanics Point Pollution Sources Non-Point Pollution Sources Storm Water Runoff...
  • Water Erosion - Winston-Salem/Forsyth County Schools

    Water Erosion - Winston-Salem/Forsyth County Schools

    Ground Water Erosion and Deposition. When rain falls and snow melts, not all of the water evaporates or becomes runoff. Some water soaks into the ground. There it fills the openings in the soil and tricklets into cracks and spaces...
  • Introduction to Practice Education

    Introduction to Practice Education

    All assessment material pertaining to each placement along with module descriptors is accessible to the student on each practice education module MOODLE page. Prepare and send an introductory email to the appropriate practice education coordinator . not less than five...
  • Présentation PowerPoint

    Présentation PowerPoint

    Commodity Indexed Swaps. RISK MANAGEMENT PRODUCTS. Lines of Credit. Risk Participation Agreements. Soft Commodity Finance Facility. TRADE FINANCE PROGRAM. TECHNICAL ASSISTANCE FUNDS . African Legal Support Fund. Fund for African Private Sector Assistance.
  • San Juan Islands Trip Planning Meeting

    San Juan Islands Trip Planning Meeting

    San Juan Islands Sailing Cruise: Planning Meeting Materials Available to Review -Guidebooks, Other San Juans Information -Charts, Chartbooks -Charter Company Documents, Information -Financial Records -Printout of Excel File of all Trip Records Timetable March 3, Planning Meeting -General Planning issues...
  • A KID IN ALADDINS PALACE Cast: THOMAS IAN

    A KID IN ALADDINS PALACE Cast: THOMAS IAN

    A KID IN ALADDIN'S PALACE Cast: THOMAS IAN NICHOLAS, JAMES FAULKNER Director: ROBERT L. LEVY Catapulted from Los Angeles to the Arabian nights, a Californian teenager uses his streetwise skills to save Aladdin and his magic lamp and keep beautiful...
  • Diapositive 1

    Diapositive 1

    SociétéFrançaise de Physique - SociétéChimique de France - Société de MathématiquesAppliquées et Industrielles - SociétéFrançaised'Optique. UdPPC. Our shareholders today: learned societies. Created in 1920, among the founders: Nobel Prizes: Marie Curie, Louis de Broglie, Jean Perrin